$\sqrt{2}$が有理数と仮定すると、それはある既約分数$\frac{m}{n}$と表される。このときm,nは自然数に等しい。
$$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$$
したがって、
$$2n^{2}=m^{2}$$
mが奇数ならば$m^{2}$も奇数となるが、これは$2n^{2}$が偶数であることに反する。
故にmは偶数なので$m=2k$(kは自然数)と表せられ
$$2n^{2}=4k^{2}$$
$$n^{2}=2k^{2}$$
故にnも偶数となるが、これは$\frac{m}{n}$が既約であることに矛盾する。（mもnも偶数であればさらに約分できてしまい、「既約」ではなくなる）
故に$\sqrt{2}$は有理数ではない。無理数である。
文章中に数式を入れたい場合は＄(これの半角)で挟み、中央に大きく表示させたい場合は＄＄(これも半角)で挟むのだけど、非常に大変である。もっと簡単な方法ないのだろうか。（そんなのあるわけない）
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