二項定理(a + b)^nについて

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二項定理は数Ⅱですが平成15年発行の新課程　青チャートでは数Aに記載されています。

二項定理は2つの項を足したもののn乗についての定理で以下のようになる

$$(a+b)^n = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + {}_n\mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2 + \cdots \\
\cdots + {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \cdots + {}_n\mathrm{C}_{n-1} ab^{n-1} + {}_n\mathrm{C}_n b^n$$

 

以下は∑でまとめた式ですが高校数学では出てこないようです。

$$(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_n C_r a^{n-r} b^r$$

例：n=10のときの5番目の項

5番目の項を求めたいがスタートが0なので$r=4$となることが分かる。

係数は以下のようになる

$${}_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$$ 

係数以外は以下のようになる

$$a^{10-4} b^4 = a^6 b^4 = a^6 b^4$$ 

よって5番目の項は以下のようになる

$$210 a^6 b^4$$